罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成 。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合 。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的 。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地 。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S 。无论如何都是矛盾的 。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论 。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论 。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论 。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意 。罗素悖论则不同 。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西 。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动 。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了 。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地 。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版 。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机 。
解决
排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案 。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则 。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来 。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统 。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷 。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等 。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机 。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响 。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究 。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学 。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等 。
一、第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派 。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右 。
他们认为，“万物皆数”（指整数），数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验 。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念 。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间 。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数 。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的 。
二、第二次数学危机
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机 。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性 。
【数学三大危机】三、第三次数学危机
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度 。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的 。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑 。
无理数的发现──第一次数学危机\x0d\x0a\x0d\x0a大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论 。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性 。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此 。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机 。\x0d\x0a\x0d\x0a到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了 。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中 。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致 。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处 。\x0d\x0a\x0d\x0a第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击 。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了 。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！\x0d\x0a\x0d\x0a无穷小是零吗？──第二次数学危机\x0d\x0a\x0d\x0a18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的 。\x0d\x0a\x0d\x0a1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论 。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比 。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量 。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂” 。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论 。导致了数学史上的第二次数学危机 。\x0d\x0a\x0d\x0a18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠 。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等 。\x0d\x0a\x0d\x0a直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础 。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础 。\x0d\x0a\x0d\x0a悖论的产生---第三次数学危机\x0d\x0a\x0d\x0a数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度 。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的 。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑 。\x0d\x0a\x0d\x0a1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论 。两年后，康托发现了很相似的悖论 。1902 年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念 。罗素悖论曾被以多种形式通俗化 。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境 。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸 。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则 。\x0d\x0a\x0d\x0a罗素悖论使整个数学大厦动摇了 。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地” 。于是终结了近12年的刻苦钻研 。\x0d\x0a\x0d\x0a承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质 。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失 。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的 。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着 。
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